俺的代数学のまとめ（剰余群）

今回は剰余群についてまとめます。（この記事では一切C++は出ません）

復習

群の定義は以下のようになる。

1, a,b　∈　A　に対してa・b　∈　A 
2,（結合律）a,b,c　∈　A　に対して(a・b)・c = a・(b・c) 
3,任意のs　∈　Aに対して、s1 = 1s = sとなる1　∈　A（単位元）が存在する。 
4,任意のs　∈　Aに対して、s^-1 s = s^-1 s = 1になるs^-1　∈　A（逆元）が存在する。 
上記四つの条件を群の公理と呼ぶ。 
5,（可換律）ab = ba

剰余類

剰余類とは次にまとめられる右剰余類、左剰余類の総称です。
Gが群、HがGの部分群とする。Gの元aをHaの形で演算させる時、GにおけるHの右剰余類と呼び、aHの形だと左剰余類と呼びます。
剰余類を考えるのは、群の定義5である可換律が関係しています。可換律の場合だと右から左から演算しても結果が一緒です。しかし、今回は右左で分けて考える必要があるので、剰余類は非可換律であることが分かる。
また、eH = He = Hである為、Hも単位元の剰余類との演算では剰余類である。
右余剰類、左余剰類の全体を示すことがある。その場合は右余剰類の全体をH\G、左余剰類の全体をG/Hと記述する。
また、各右剰余類の代表元aiの集合{ai}i∈IをH\Gの完全代表系という。
左も同様。
※I : 添字集合

合同

右剰余類Ha = Hbが満たされている時、a,bはHを法として右合同という。また、
左剰余類aH = bHが満たされている時、a,bはHを法として左合同という。
これらの合同は同値関係である。

証明（合同）

x~y ↔︎xy^-1 ∈ H が同値関係であることを示す。

1, xx^-1 = 1 ∈ H　より　x~x
2, x~y ↔︎xy^-1 ∈ H　より　(xy^-1)^-1 = yx^-1 ∈ H　よって　y~x
3, x~y, y~zとし、xy^-1, yz^-1∈ H より、　xy^-1, yz^-1 = xz^-1∈ Hよって　x~z

また、aを含む同値類がHaであることを示す。

x~aとなる任意のxに対し、定義よりxa^-1 ∈ H なので 
h ∈ H で xa^-1 = h　となるものが存在するので、x = ha ∈ Ha。
逆に、任意のha∈ Ha に対して (ha)a^-1 = h∈ H より、a~ha。
よってaを含む同値類はHaとなる。

また、G/Hが有限集合の時、H\Gも有限であり元の個数も同じである。
この時、HのGにおける指数と呼ぶ。これを|G:H|と表記する。
また、有限個の群のことを有限群という。有限群の位数に関しては、以下の定理が基本的。

ラグランジュの定理

有限群Gの部分群Hにおいて以下を満たす。

1, |G| = |G:H|　|H|, すなわち|G:H| = |G| / |H|
2, Hの位数も指数も共にGの位数の約数

また、Gの部分群Nが

a^-1 Na = N (任意のa ∈ A)

を満たす時、NはGの正規部分群である。G▷Nで記述。

注意 
・Na = aNと同値。よって正規部分群Nの右剰余類と左剰余類は一致し、余剰類となる。
・Gが可換群である時、任意の部分群は正規部分群。

G▷Nの時、Nの二つの剰余類Na,Nbの積とする。
(Na)(Nb) = NaNb = NNab = Nab
となる、この積に対してN : 単位元, Na^-1 : Naの逆元, G/Nは群。
この時のG/Nを剰余群という。