俺的代数学のまとめ(群)

はじめに

今回から数日に一回この様に自分が今学習している代数学のまとめを投稿していこうと思います！
初学者が自分なりにまとめたものなので、語弊や間違いがあると思います。その場合は指摘などをコメント欄にしてくださると助かります！

半群

以下の条件を満たしている集合を半群という。

集合Aが演算子・に対して
a,b∈Aに対してa・b∈A
（結合律）a,b,c∈Aに対して(a・b)・c = a・(b・c)
※(A,・)と表記

また、半群Aの元eに対して任意のx(x∈A)が以下の様な条件を満たす元を単位元という。

ex = xe = x

この時半群の単位元は存在が唯一なもの。（それしか存在しない）
 

証明（半群）

元e,wがそれぞれ
ea = a, aw = aを満たすとする。この時、eに関してew = e, wに関して ew = wが成り立つ。よってe = fになる。

モノイド

半群に単位元が存在する時、その半群をモノイドをいう。
また、モノイドの元e,e'が以下を満たす時にeを正則元,e'を逆元という。
逆元はe^-1と表記できる。

e e' = e'e = 1

正則元に対して、逆元は存在が唯一なもの。
モノイドAに対して、逆元を持つ集合をA*と書く。

A* = {a　|　a∈Aは逆元を持つ}

モノイドの任意の元が全て逆元を持つ時、モノイドは群と呼ばれる。

群

演算・に対して以下を満たすものを群と定義される。

1, a,b∈Aに対してa・b∈A
2,（結合律）a,b,c∈Aに対して(a・b)・c = a・(b・c)
3,任意のs∈Aに対して、s1 = 1s = sとなる1∈A（単位元）が存在する。 
4,任意のs∈Aに対して、s^-1 s = s^-1 s = 1になるs^-1∈A（逆元）が存在する。
上記四つの条件を群の公理と呼ぶ。
5,（可換律）ab = ba

5が満たされている時、集合Aは可換群（アーベル群）とされ、5のみが満たされない時は非可換群と呼ぶ。可換群は以下のような例が存在する。

(R,+),(Z,+)(Q,+) 加群
(R*,×)(Q*,×) 乗群
※R:実数, Z:整数, Q:有理数

また、群Gの部分集合Hがそれ自体として群となるとき、HをGの部分群という。
部分群を示すにはH⊂Gと表記する。
群の元の数を位数と呼びます。有限このげんで生成されていることをまた、有限生成という。

巡回群

巡回群とは、ある元g∈Gが存在して、全てのGの元が、𝑔^𝑛(𝑛∈ℕ)と表せることである。
※G : 巡回群, g : 生成元

この時、

𝐺 = ⟨𝑔⟩ = {𝑔^𝑛 | 𝑛 ∈ ℕ}

と表せる。

※G = <g>は巡回群を表記している
例：整数の+に関する群Lはに関して、１から生成された巡回群
L = <1> = <・・・, 0, 1, 2, 3, ・・・>
※自分自身との和（演算）を繰り返すことで位数が増える。
乗法でも同様。
 

次回は剰余群について自分なりにまとめます